函數(shù)與極限

1 、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有 f(x) ≥ K1 則函數(shù) f(x) 在定義域上有下界， K1 為下界 ; 如果 有 f(x) ≤ K2 ， 則有上界 ， K2 稱為上界 。 函數(shù) f(x) 在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi) 既有上界又有下界。

2 、數(shù)列的極限定理 ( 極限的唯一性 ) 數(shù)列 {xn} 不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。 定理 ( 收斂數(shù)列的有界性 ) 如果數(shù)列 {xn} 收斂，那么數(shù)列 {xn} 一定有界。 如果數(shù)列 {xn} 無(wú)界，那么數(shù)列 {xn} 一定發(fā)散 ; 但如果數(shù)列 {xn} 有界，卻不能斷定數(shù)列 {xn} 一定 收斂 ， 例如數(shù)列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， (-1)n 1 … 該數(shù)列有界但是發(fā)散 ， 所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂 的必要條件而不是充分條件。 定理 ( 收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系 ) 如果數(shù)列 {xn} 收斂于 a ，那么它的任一子數(shù)列也收斂于 a. 如果數(shù)列 {xn} 有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列 {xn} 是發(fā)散的，如數(shù)列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， (-1)n 1 … 中子數(shù)列 {x2k-1} 收斂于 1 ， {xnk} 收斂于 -1 ， {xn} 卻是發(fā)散的 ; 同時(shí)一個(gè)發(fā)散的 數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3 、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中 0 定理 ( 極限的局部保號(hào)性 ) 如果 lim(x → x0) 時(shí) f(x)=A ， 而且 A>0( 或 A0( 或 f(x)>0) ， 反之也成 立。