大連環(huán)保工程師培訓(xùn)

一、聲波在空氣中的傳播和衰減

1、聲波方程

聲振動必須滿足三個基本的物理定律，即牛頓第一定律、質(zhì)量守恒定律以及描述壓強(qiáng)、溫度、體積等狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程。應(yīng)用這三個定律可以推導(dǎo)出聲波傳播中的連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程，并進(jìn)一步得到波動方程—— 、 和 對時間空間坐標(biāo)的偏微分方程。作如下假設(shè)：①媒質(zhì)為理想流體，即媒質(zhì)中不存在黏滯性，聲波傳播時沒有能量損失;②沒有聲擾動時，媒質(zhì)在宏觀上是靜止的、均勻的，因此媒質(zhì)中靜壓強(qiáng) 、靜態(tài)密度 都是常數(shù);③聲波傳播時，媒質(zhì)中稠密和稀疏的過程是絕熱的;④假設(shè)是小振幅聲波，即滿足：

聲壓 比大氣壓 要小得多，即 ;

質(zhì)點(diǎn)的位移 比波長 要小得多，即 ;

質(zhì)點(diǎn)振動速度 比聲速 要小得多，即 ;

介質(zhì)密度的相對變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，即 。

上述假設(shè)稱為理想流體媒質(zhì)小振幅假定。可以分別推導(dǎo)連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和物態(tài)方程。

(1)連續(xù)性方程：是物質(zhì)不滅定律在流體運(yùn)動描述中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。對體積元 ，單位時間流入 的質(zhì)量與流出 的質(zhì)量之差等于該體積元內(nèi)質(zhì)量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質(zhì)量的增量。

并由此得到單位時間 內(nèi)總的質(zhì)量增量的矢量形式如下式， 為拉氏算子。

(2)運(yùn)動方程

運(yùn)動方程是聲壓對于距離的梯度等于媒質(zhì)密度和質(zhì)點(diǎn)振動速度乘積的負(fù)值。在聲場中取一體積元 ，當(dāng)有聲波作用于體積元上，各方向的壓強(qiáng)將發(fā)生變化。設(shè)體積元在靜止時的壓強(qiáng)為 ，密度為 ，聲波產(chǎn)生的瞬時聲壓為 ，因體積元足夠小，可認(rèn)為作用在各面的壓力均勻。對 方向，利用簡單力學(xué)分析和牛頓第二定律得：

由于是小振幅聲波，其密度的變化可忽略，即 ，可得聲波在 、 、 三個方向產(chǎn)生的加速度分別為：

式中： ——瞬時聲壓，Pa;

、 、 ——質(zhì)點(diǎn)振動速度 在 、 、 三方向上的分量。

可得到運(yùn)動方程，式中 為拉普拉斯算符。