考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)輔導(dǎo)

考研數(shù)學(xué)：線代知識(shí)框架

系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。

對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無窮多解。

在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。

對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

通過對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。