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線(xiàn)性代數(shù)考點(diǎn)剖析：相似對(duì)角化理論

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化理論

其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。

這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣；也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A；另外由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。

最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。

1、掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)

（1）不同特征值的特征向量一定正交

（2）k重特征值一定滿(mǎn)足

【注】由性質(zhì)（2）可知，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化；且有（1）可知，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。

2、會(huì)求把對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似化的正交矩陣

【注】熟練掌握施密特正交化的公式；特別注意的是：只需要對(duì)同一個(gè)特征值求出的基礎(chǔ)解系進(jìn)行正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交（當(dāng)然除非你計(jì)算出錯(cuò)了會(huì)發(fā)現(xiàn)不正交）。

3、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特殊考點(diǎn)：

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化，利用這個(gè)性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：

（1）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)

這個(gè)結(jié)論只對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣成立，不要錯(cuò)誤地使用。

（2）兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，如果特征值相同，一定相似

同樣地，對(duì)于一般矩陣，這個(gè)結(jié)論也是不成立的。

4、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣在二次型中的應(yīng)用

使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化。