考研數(shù)學(xué)三輔導(dǎo)深圳

考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)指導(dǎo)

3建立知識框架

基礎(chǔ)階段線代要大概圍繞以下內(nèi)容建立知識框架，即線性方程組，向量，秩，矩陣運(yùn)算。建立知識框架，類似于圍棋中的布局，要想下好棋，大局觀非常重要，這在線性代數(shù)尤其重要。

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組，線代貫穿的主線就是求方程組的解，換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科，不管是向量的線性相關(guān)，線性表示，還是求特征向量，都是圍繞線性方程組。關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問題(2)方程組如何求解，有多少個解(3)方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

線性方程組求解主要是高斯消元法，在利用求解的過程中涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算，即向量。例如大家可以過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)(零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等)。也可以從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。這部分內(nèi)容概念多，定理性質(zhì)也多，光憑記憶是很難掌握的。

秩是一個非常深刻而重要的概念，就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組有解的充分要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。秩的靈活運(yùn)用，充分體現(xiàn)了線性代數(shù)中推理和抽象性強(qiáng)的特點(diǎn)，同學(xué)們在做題時要好好體會，因此有要進(jìn)一步好好研究向量組的秩的計算方法。

在研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，同學(xué)們注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有要對矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門研究，建立這方面的知識框架。