2015年考研數(shù)一、數(shù)三真題解析(第22題)

【考點(diǎn)分析】

本題主要考察的是考生對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，以及對(duì)于一維隨機(jī)變量函數(shù)的綜合運(yùn)用，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，和常見分布的實(shí)際意義。

這道題的前半部分需要我們求出這個(gè)隨機(jī)變量，首先我們很容易判斷，Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們不需要任何的公式，只要掌握兩點(diǎn)，一是取值，二是概率。當(dāng)然這個(gè)分布有點(diǎn)類似于幾何分布，可以稱為幾何分布的變形，這樣的分布，我們其實(shí)在教材上的例題上和平時(shí)的作業(yè)中應(yīng)該碰到不止一次，基礎(chǔ)好的同學(xué)將會(huì)非常熟悉這個(gè)分布。另外在這個(gè)分布中還隱含著一個(gè)未知參數(shù)p，也就是X大于3的概率，所以在此加強(qiáng)了這道題目的綜合性。

題目的后半部分屬于比較新穎的類型，在往年的真題中并未出現(xiàn)過(guò)，但是出題人在這里鋪下了兩條通往答案的道路，一種是帶入期望的定義公式，直接利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，求出數(shù)學(xué)期望，這對(duì)于考生的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有一定的要求，但是若考生在平時(shí)的練習(xí)當(dāng)中若自己推到過(guò)常見離散型(幾何分布或泊松分布)的數(shù)學(xué)期望和方差，那么這個(gè)求和過(guò)程將不再是一件難事。另外也可以利用分解法，將其分解為兩個(gè)幾何分布的相加的函數(shù)，那么利用期望的加法性質(zhì)和幾何分布期望則可讓題目變得更加容易，提高解題速度，而這種分解隨機(jī)變量的思想方法在求二項(xiàng)分布的期望和方差時(shí)也曾用到。

【易錯(cuò)點(diǎn)】

這道題目綜合性很強(qiáng)，有以下任何一個(gè)地方出現(xiàn)的問(wèn)題，都會(huì)導(dǎo)致最后計(jì)算的錯(cuò)誤。第一，再求p的時(shí)候需要計(jì)算一個(gè)分段的無(wú)窮積分，并且這個(gè)積分函數(shù)公式很多同學(xué)特別容易記錯(cuò)。第二，在求Y的分布的時(shí)候，很多同學(xué)會(huì)直接當(dāng)成幾何分布或者再求概率的時(shí)候遺漏系數(shù)。第三，大多數(shù)同學(xué)還是很容易想到利用期望定義寫出這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，但是困難就在于高等數(shù)學(xué)中的這個(gè)級(jí)數(shù)求和，相信不少同學(xué)在這里下馬，不是算不出，就是算錯(cuò)。

所以希望16和17的考生們注意，一定要扎實(shí)基礎(chǔ)，掌握，理解和記住每一個(gè)公式，知道每個(gè)公式的來(lái)龍去脈，自己動(dòng)手去推導(dǎo)下公式，不僅可以復(fù)習(xí)一些熟悉的性質(zhì)，還有可能會(huì)有意想不到的收獲。