一、一般形式
(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)
等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。
一般形式的證明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
證明：
等式左邊=(ai·bj aj·bi) .................... 共n2 /2項
等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj) (aj·bj)·(ai·bi) ...................共n2 /2項
用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等號成立條件：β為零向量，或α=λβ(λ∈R)。
向量形式的證明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn) m·n=a1b1 a2b2 … anbn=|m||n|cos<
m,n>=√(a1 a2 … an) ×√(b1 b2 … bn) ×cos<m,n> ∵cos<m,n>≤1 ∴a1b1 a2b2 … anbn≤√(a1 a2 … an) ×√(b1 b2 … bn) 注：“√”表示平方根。
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