高三數(shù)學(xué)教案 全稱量詞與存在量詞
教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對量詞命題的否定，使學(xué)生進一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.
教學(xué)重點：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化;
教學(xué)難點：隱蔽性否定命題的確定;
課 型：新授課
教學(xué)手段：多媒體
教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境
數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號分別記為“ ”與“ ”來表示);由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中， 都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。
二、活動嘗試
問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。
(1)所有的矩形都是平行四邊形;
(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù);
(3)?x?R，x2-2x 1≥0
分析：(1)? ，否定：存在一個矩形不是平行四邊形;
(2) ，否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù);
(3) ，否定：?x?R，x2-2x 1<0;
這些命題和它們的否定在形式上有什么變化?
結(jié)論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.
三、師生探究?
問題2：寫出命題的否定
(1)p：$ x∈R，x2 2x 2≤0;
(2)p：有的三角形是等邊三角形;
(3)p：有些函數(shù)沒有反函數(shù);
(4)p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分;
分析：(1)? x?R，x2 2x 2>0;
(2)任何三角形都不是等邊三角形;
(3)任何函數(shù)都有反函數(shù);
(4)對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分;
從集合的運算觀點剖析： ,
四、數(shù)學(xué)理論
1.全稱命題、存在性命題的否定
一般地，全稱命題P：? x?M,有P(x)成立;其否定命題┓P為：?x∈M,使P(x)不成立。存在性命題P：?x?M，使P(x)成立;其否定命題┓P為：? x?M,有P(x)不成立。
用符號語言表示：
P:??M, p(x)否定為? P: ??M, ? P(x)
P:??M, p(x)否定為? P: ??M, ? P(x)
在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.關(guān)鍵量詞的否定
詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且
詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
詞語 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立
詞語的否定 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存在一個x不成立 存在有一個成立
五、鞏固運用
例1 寫出下列全稱命題的否定：
(1)p：所有人都晨練;
(2)p：?x?R，x2 x 1>0;
(3)p：平行四邊形的對邊相等;
(4)p：$ x∈R，x2-x 1=0;
分析：(1)? P：有的人不晨練;(2)$ x∈R，x2 x 1≤0;(3)存在平行四邊形，它的的對邊不相等;(4)?x?R，x2-x 1≠0;
例2 寫出下列命題的否定。
(1) 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。
(2) 任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。
(3) 對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x y>0.
(4) 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。
解：(1)的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。
(2)的否定：存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定：存在實數(shù)x,對所有實數(shù)y，有x y≤0。
(4)的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。
解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x>3，則x2>9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理;這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。
例3 寫出下列命題的否定。
(1) 若x2>4 則x>2.。
(2) 若m≥0,則x2 x-m=0有實數(shù)根。
(3) 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。
(4) 被8整除的數(shù)能被4整除。
(5) 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解(1)否定：存在實數(shù) ，雖然滿足 >4，但 ≤2?；蛘哒f：存在小于或等于2的數(shù) ，滿足 >4。(完整表達為對任意的實數(shù)x, 若x2>4 則x>2)
(2)否定：雖然實數(shù)m≥0,但存在一個 ，使 -m=0無實數(shù)根。(原意表達：對任意實數(shù)m,若m≥0,則x2 x-m=0有實數(shù)根。)
(3)否定：存在一個可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。
(4)否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)
(5)否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。)
例4 寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。
(1)p：若x>y,則5x>5y;
(2)p：若x2 x﹤2,則x2-x﹤2;
(3)p：正方形的四條邊相等;
(4)p：已知a,b為實數(shù)，若x2 ax b≤0有非空實解集，則a2-4b≥0。
解：(1)? P：若 x>y，則5x≤5y; 假命題
否命題：若x≤y，則5x≤5y;真命題
(2)? P：若x2 x﹤2，則x2-x≥2;真命題
否命題：若x2 x≥2，則x2-x≥2);假命題。
(3)? P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等;假命題。
否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。
(4)? P：存在兩個實數(shù)a,b，雖然滿足x2 ax b≤0有非空實解集，但使a2-4b﹤0。假命題。
否命題：已知a,b為實數(shù)，若x2 ax b≤0沒有非空實解集，則a2-4b﹤0。真命題。
評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：
1.任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題;而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2.命題的否定(非)是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真;而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。
3. 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則?q”;而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。
六、回顧反思
在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負(fù)載于其它知識之上，達到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維
能力。
七、課后練習(xí)
1.命題p：存在實數(shù)m，使方程x2 mx 1=0有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是( )
A.存在實數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0無實根;
B.不存在實數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實根;
C.對任意的實數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實根;
D.至多有一個實數(shù)m，使得方程x2 mx 1=0有實根;
2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為( )
A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤
3.命題“?x?R，x2-x 3>0”的否定是
4.“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的
否定形式是
否命題是
5.寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2 x-m=0必有實根;
(2)q：??R，使得x2 x 1≤0;
6.寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：
(1)若m>1，則方程x2-2x m=0有實數(shù)根.
(2)平方和為0的兩個實數(shù)都為0.
(3)若 是銳角三角形， 則 的任何一個內(nèi)角是銳角.
(4)若abc=0，則a,b,c中至少有一為0.
(5)若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2.
八、參考答案：
1. B
2.C
3.? x?R，x2-x 3≤0
4.否定形式：末位數(shù)是0或5的整數(shù)，不能被5整除
否命題：末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除
5.(1)?p：?m∈R，方程x2 x-m=0無實根;真命題。
(2)?q：??R，使得x2 x 1>0;真命題。
6. ⑴ 若m>1，則方程x2-2x m=0無實數(shù)根，(真);
⑵平方和為0的兩個實數(shù)不都為0(假);
⑶若 是銳角三角形， 則 的任何一個內(nèi)角不都是銳角(假);
⑷若abc=0，則a,b,c中沒有一個為0(假);
⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或 ，(真).
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